Олимпиадная задача про куб 11×11×11 и червяков для 8-10 классов от Садыкова Р.
В ячейки куба 11×11×11 поставлены по одному числа 1, 2, ..., 1331. Из одного углового кубика в противоположный угловой отправляются два червяка. Каждый из них может проползать в соседний по грани кубик, при этом первый может проползать, если число в соседнем кубике отличается на 8, второй – если отличается на 9. Существует ли такая расстановка чисел, что оба червяка смогут добраться до противоположного углового кубика?
Показать ответ
Не существует.
Разобрать решение
Предположим, что такая расстановка чисел существует.
Пусть числа, стоящие в начальном и конечном угловых кубиках равны a и b соответственно. Можно считать, что a < b. Также можно считать, что каждый червяк не заползает в каждый кубик больше одного раза.
Тогда первый червяк должен последовательно проползти через кубики с числами a, a + 8, a + 16, a + 24, ..., a + 72, ..., b (очевидно он делает больше 10 "ходов"), а второй должен последовательно проползти через кубики с числами a, a + 9, a + 18, a + 27, ..., a + 72, ..., b.
Рассмотрим теперь шахматную раскраску нашего куба. Можно считать, что кубик с числом a – чёрный. Заметим, что соседние по грани кубики должны иметь разные цвета. Значит, кубики с числами a, a + 18, a + 36, ..., a + 72 – чёрные, а кубики с числами a + 8, a + 24, a + 40, ..., a + 72 – белые.
Таким образом, кубик с числом a + 72 должен быть и чёрным, и белым. Противоречие.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.