Олимпиадная задача по математическому анализу для 9-11 классов от Сонкина М.

Без ограничения общности можем считать, что a b c . Пусть не все числа x , y , z равны. Тогда среди них есть либо строго наибольшее, либо строго наименьшее – скажем, x . Заметим, что если β>α , то функция ϕ(t)=-= – монотонно убывает.

Перепишем первое из данных в условии равенств так:

(-)+(-)=

=(-)+(-).

Если x – строго наибольшее, то каждая скобка слева не больше соответствующей скобки справа, причем равенства одновременно достигаются только при a=b=c . Аналогично, если x – строго наименьшее, то оба неравенства меняют знак, причем оба становятся равенствами опять же только при a=b=c . Заметим, что мы доказали требуемое, воспользовавшись только одним из данных равенств. Правда, то, каким равенством из данных мы пользуемся, зависит от соотношения между переменными.