Олимпиадная задача по алгебраическим неравенствам для 8–10 классов, автор Злобин С. А.

  Допустим, что  x + y² < x² + y³.  Тогда, складывая это неравенство с неравенством  x³ + y⁴ ≤ x² + y³,  получим  (x + x³) + (y² + y⁴) < 2x² + 2y³,  что противоречит неравенствам  x + x³ ≥ 2x²  и  y² + y⁴ ≥ 2y³.

  Следовательно,  x + y² ≥ x² + y³ ≥ x³ + y⁴,  откуда  2x + 2y² ≥ x² + y³ + x³ + y⁴.  Замечая, что  (1 + x²) + (1 + y⁴) ≥ 2x + 2y² ≥ x² + y³ + x³ + y⁴,  получаем неравенство  2 + x² + y⁴ ≥ x² + y³ + x³ + y⁴,  равносильное требуемому.