Олимпиадная задача: покрытие прямоугольника уголками $2 \times 2$ — комбинаторная геометрия

Решение 1:Покрасим клетки прямоугольника в черный и белый цвета так, как показано на рисунке. Рассмотрим $12$ чёрных клеток. Никакие две из них не могут быть покрыты одним уголком, поэтому, если прямоугольник покрыт уголками в $k$ слоёв, то уголков хотя бы $12k$. Тогда суммарная площадь всех уголков не менее $36k$, однако, площадь $k$ слоёв равна $35k$ – противоречие.

Решение 2:

Покрасим клетки прямоугольника в чёрный и белый цвета так, как показано на рисунке. В черные клетки запишем число $-2$, а в белые – число $1$. Заметим, что сумма чисел в клетках, покрываемых любым уголком, неотрицательна, следовательно, если нам удалось покрыть прямоугольник в $k$ слоёв, удовлетворяющих условию, то сумма $S$ чисел по всем клеткам, покрытым уголками, неотрицательна. Но если сумма всех чисел в прямоугольнике равна $s$, то $S=ks=k(-2 \cdot 12+23 \cdot 1)=-k > 0$. Получим противоречие. Аналогично доказывается, что покрытия, удовлетворяющего условию задачи не существует, если прямоугольник имеет размеры $3 \times (2n+1)$ и $5 \times 5$. Прямоугольник $2 \times 3$ можно покрыть в один слой двумя уголками, прямоугольник $5 \times 9$ – в один слой пятнадцатью уголками, квадрат $2 \times 2$ – в три слоя четырьмя уголками. Комбинируя эти три покрытия, нетрудно доказать, что все остальные прямоугольники $m \times n$ ($m,n \ge 2$) можно покрыть уголками, удовлетворяя условию.