Олимпиадная задача по алгебраическим неравенствам для 8-10 классов — доказательство неравенства для a, b и c

Решение 1:   Обозначим  a = x³,  b = y³,  c = z³.  Тогда  xyz = 1.  Поскольку  x² – xy + y² ≥ xy,  имеем  x³ + y³ ≥ (x + y)xy,  откуда

= ≤ = .

Складывая это неравенство с двумя аналогичными, получим получим требуемое неравенство.

Решение 2:   После приведения к общему знаменателю и раскрытия скобок (с учётом того, что  abc = 1)  неравенство принимает вид

a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc² ≥ 2(a + b + c).        (*)

  Приведём несколько доказательств неравенства (*).   Первый способ. Запишем неравенство (*) в виде:  (ab + ac + bc)(a + b + c) – 3abc ≥ 2(a + b + c).  Поделив на  a + b + c  и заменив abc на 1, приведём его к виду:  

  Полученное неравенство очевидно, так как согласно неравенству Коши

    и     Второй способ. Рассмотрим выражение   &nbsp,   как среднее арифметическое 18 чисел (одночлены с коэффициентом 7 рассматриваются как сумма 7 равных слагаемых). Применив неравенство Коши, получим

 ,   или    

  Сложив это неравенство с двумя аналогичными, полученными заменойaиb, а затемaиc, получим неравенство (*).   Третий способ. Умножив очевидное неравенство  b² + 1 ≥ 2b   (**)  на a, получим   ab² + a ≥ 2ab.     (1)

  Умножив (**) на ^c/_b и заменив ¹/_b на ac, получим   ac² + bc ≥ 2c.     (2)

  Аналогично  a²c + ab ≥ 2a,     (3)

      b²c + ab ≥ 2b.     (4)

  Можно считать, что числа расположены в порядке возрастания:  a ≤ b ≤ c.  Тогда  a ≤ 1 ≤ c  и  (c – 1)(c – a²) ≥ 0.  Раскрыв скобки, получим

 a² + c² ≥ a²c + c.  Умножая на b и заменяя abc на 1, получим, наконец, неравенство   a²b + bc² ≥ bc + a.     (5)

  Складывая неравенства (1) – (5), получим неравенство (*).