Олимпиадная задача: Суммы пар и квадраты для n=9, 11, 1996 (8-10 класс)
Целые числа от 1 до n записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат а) при n = 9, б) при n = 11, в) при n = 1996.
Разобрать решение
а) Например:
б) Нетрудно видеть, что под числом 11 может быть записано только число 5, но под числом 4 тоже может быть записано только число 5. Противоречие. в) Запишем под числом k число  2025 – k  для всех k = 29, 30, ..., 1996. Тогда сумма чисел в каждом столбце, начиная с 29-го, равна 45², а числа от 1 до 28 остались "неиспользованными".
Далее под числами k = 21, 22, ..., 28 запишем числа 49 – k. Затем под числами k = 16, 17, 18, 19, 20 запишем числа 36 – k. Наконец, каждому k = 1, 2, ..., 15 поставим в соответствие число 16 – k.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.