Олимпиадная задача: Чётность чисел отрезков в треугольниках квадрата — 10-11 класс

  Вершины квадрата также будем считать отмеченными, а стороны – "проведёнными" отрезками. Пусть из каждой отмеченной точки выходит чётное число отрезков.

  1) Повернём картинку так, чтобы среди сторон треугольников не было вертикальных. Возьмём внутри треугольника разбиения произвольную точку и выпустим из неё луч вверх. Когда на луче нет отмеченных точек, назовём степенью луча число пересечённых им отрезков.

  Докажем, что степени всех выпущенных из треугольника T лучей имеют одну чётность. Для доказательства будем двигать луч l так, чтобы его начало двигалось от самой левой вершины треугольника T к самой правой. Степень l меняется, только когда l проходит через какую-то отмеченную точку K. Отрезки из K выходят одни налево, другие направо; l всегда пересекает ровно одну из этих групп. Но всего из K выходит чётное число отрезков, поэтому чётности групп одинаковы, и значит, чётность степени l не изменяется.

  Назовём чётностью треугольника чётность степени любого выпущенного из него луча (согласно предыдущему абзацу определение корректно).

  2) Ясно, что треугольники с общей стороной имеют разную чётность. А все треугольники, примыкающие к сторонам исходного квадрата, нечётны (достаточно рассмотреть луч из точки, "близкой" к самой левой или самой правой вершине квадрата).

  Отсюда следует, что нечётные треугольники в совокупности имеют на 4 стороны больше, чем чётные. Но это невозможно: число сторон треугольников каждой чётности в три раза больше числа таких треугольников, то есть кратно 3.