Олимпиадная задача: Арифметическая прогрессия с возрастающей суммой цифр, 9-10 класс

  а) Пример такой прогрессии:  11121314151617181920 (подряд выписано 10 двузначных чисел от 11 до 20), 12131415161718192021, 13141516171819202122, 14151617181920212223, 15161718192021222324, 16171819202122232425, 17181920212223242526, 18192021222324252627, 19202122232425262728, 20212223242526272829, 21222324252627282930.  Разность прогрессии 19-значное число 10101...01. При добавлении d происходит циклическая перестановка пар цифр и, сверх того, первое двузначное число не просто переходит на последнее место, но к нему еще прибавляется 10 (то есть сумма цифр возрастает на 1).

  Нетрудно проверить, что даже не 11, а 80 первых членов этой прогрессии удовлетворяют требованию.   б) Вот пример такой прогрессии. Разность прогрессии d – число из 49996 знаков, в котором на первом, шестом, одиннадцатом и т.д. местах стоят единицы, остальные – нули:  d = 100001000010000...100001. Начальный член прогрессии a₀ содержит 49991 знак, но нам удобнее записывать это число, начиная с девяти нулей (таким образом, получается 50000 знаков). Напишем последовательные 10000 целых чисел, начиная с нуля (причём к каждому из первых 1000 чисел припишем слева один, два или три нуля, чтобы все числа были четырёхзначными), и запишем эти числа одно за другим, разделяя соседей одним нулём:  a₀ = 00000 00001 00002 ... 09998 09999.

  При прибавлении d к a₀ первая слева пятёрка цифр превращается во вторую, вторая – в третью, ..., 9999-я – в 10000-ю, а последняя пятёрка – она равна 09999 – превращается в 10000:  00001 00002 00003 ...09999 10000.

  Итак, произошёл циклический сдвиг последовательности пятёрок с единственным исключением: левая пятёрка не просто переместилась на самое правое место, но в её левом разряде добавилась единица. Отсюда ясно, что сумма цифр увеличилась на 1. Аналогично при прибавлении d к a_n, если  n < 9999,  происходит циклический сдвиг последовательности пятёрок, аналогичный описанному. (В последних пятёрках в левых разрядах стоит единица, при этом она продвигается каждый раз на одну пятёрку влево.)   в) Пусть  {a₀ + nd}  – возрастающая арифметическая прогрессия натуральных чисел,  {S(a₀ + nd)}  – последовательность сумм цифр её членов, m – число знаков в десятичной записи a₀. Рассмотрим член нашей прогрессии  a₀ + 10^md.  При сложении чисел a₀ и 10^md все цифры чисел a₀ и d сохраняются, так как цифры a₀ при сложении в столбик приходятся на нули числа 10^md. Поэтому  S(a₀ + 10^md) = S(a₀) + S(d).  Но и  S(a₀ + 10^m+pd) = S(a₀) + S(d),  где p – любое натуральное число. Таким образом, во второй последовательности есть совпадающие члены, так что она не может быть арифметической прогрессией.