Задание по олимпиадной по математике: цифры в таблице 10×10, разные ва
В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры 0, 1, 2, 3, ..., 9 так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.
а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?
б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.
Показать ответ
а) Можно.
Разобрать решение
а) См. рис. (цифры заменены цветами)
б) Пусть в каждом ряду встречается не более трёх различных цифр, причём цифра n встречается в an строках и bn столбцах. Сумма a0 + ... + a9 равна количеству "вхождений" всех цифр во все строки, то есть не превосходит 30. Аналогично b0 + ... + b9 ≤ 30.
С другой стороны, anbn ≥ 10, поэтому an + bn ≥ 7. Значит, a0 + ... + b9 ≥ 70. Противоречие.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.