Олимпиадная задача: клетки 17×17, суммы и расстояния — планиметрия
Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17×17. В клетках квадрата произвольным образом написаны числа 1, 2, 3, ..., 70 по одному и только одному числу в каждой клетке. Доказать, что существуют такие четыре различные клетки с центрами в точках A, B, C, D, что AB = CD, AD = BC и сумма чисел, стоящих в клетках с центрами в A и C, равна сумме чисел в клетках с центрами B и D.
Разобрать решение
Рассмотрим всевозможные пары клеток, симметричных относительно центра квадрата. Количество таких пар равно (17² – 1) : 2 = 144. Сумма чисел, написанных в двух клетках может быть равна 2, 3, ..., 140. Поэтому найдутся две пары клеток, симметричных относительно центра квадрата, с равными суммами написанных чисел. В качестве точекAиCвозьмём центры одной пары клеток, а в качестве точекBиD— центры другой пары.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.