Олимпиадная задача: максимальное размещение ладей и ферзей на доске 8×

  а) Пусть k ладей расположены с соблюдением условия. На каждом поле, где стоит ладья, напишем число 0. В каждом из n столбцов проделаем следующую операцию: если в столбце стоят два числа, то прибавим к обоим по 1, если одно число, то к нему прибавим 2 (в пустом столбце ничего писать не будем). Затем проделаем точно такую же операцию с каждой строкой. Ясно, что на месте каждой из k ладей в результате будет написано либо 3, либо 4, поэтому сумма S всех написанных чисел не меньше 3k; с другой стороны, поскольку в каждый из восьми столбцов и затем в каждую из восьми строк мы добавили не более чем 2, то  S ≤ 32.  Итак,  3k ≤ S ≤ 4n, откуда  k ≤ 10.

  Пример расстановки 10 ладей, удовлетворяющей условию, показан на рисунке слева.

  б) Ясно, что ферзей можно поставить не больше, чем ладей. На рисунке справа показано, как расставить 10 ферзей.