Олимпиадная задача: Наименьшее значение S для суммы n положительных чи
Сумма n положительных чисел x1, x2, x3, ..., xn равна 1.
Пусть S – наибольшее из чисел 
Найдите наименьшее возможное значение S. При каких значениях x1, x2, ..., xn оно достигается?
Показать ответ
при 
Разобрать решение
Предположим, что положительные числа a1, a2, ..., an таковы, что a1 + a2 + ... + an = 1 и
(Ниже мы увидим, что такой набор a1, a2, ..., an действительно
существует.) Покажем, что при x1 = a1, x2 = a2, ..., xn = an величина S принимает наименьшее возможное значение.
Пусть b1, b2, ..., bn – другой набор положительных чисел, сумма которых равна 1. Ясно, что bk > ak для некоторого k. Пусть k – наименьший индекс с таким свойством, то есть b1 ≤ a1, b2 ≤ a2, ..., bk–1 ≤ ak–1, bk > ak, тогда
Таким образом, наибольшее из чисел 
больше 
(наибольшего из чисел 
).
Остается решить в положительных числах систему уравнений
x1 + x2 + ... + xn = 1, 
Уравнение 
(для положительных x1, ..., xk) преобразуется к виду xk = (1 + x1 + ... + xk–1)x1, так что данная система эквивалентна системе
x2 = (1 + x1)x1,
x3 = (1 + x1 + x2)x1,
...
xn = (1 + x1 + x2 + ... + xn–1)x1,
x1 + x2 + ... + xn = 1,
которая в свою очередь эквивалентна системе
x2 = (1 + x1)x1,
x3 = (1 + x1)2x1,
...
xn = (1 + x1)n–1x1,
x1 + x2 + ... + xn = 1,
то есть числа x1, x2, ..., xn образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1 + x1 и суммой (1 + x1)n – 1. Теперь легко находится решение системы:
Обсуждение
0Комментариев пока нет.