Коммутативность и ассоциативность в абстрактной операции — задача Янов
В некотором множестве введенаоперация ,которая по каждым двум элементамaи bэтого множества вычисляет некоторый элементabэтого множества. Известно, что:1°. Для любых трех элементов a, b и c a(bc) = b(ca). 2°. Еслиab = ac,тоb = c. 3°. Еслиac = bc,тоa = b. Докажите, что операция *
а) коммутативна, то есть для любых элементов a и b верно равенство ab = ba;
б) ассоциативна, то есть для любых элементов a, b и c верно равенство (ab)c = a(bc).
Разобрать решение
Из условий1° и2° следует коммутативность: подставив в1° a вместо b, получим, что для любых a и c
a(ac) = a(ca),
а отсюда следует, согласно2°, что a*c = c*a.
Из условия 1° и коммутативности следует ассоциативность: для любых a, b и c, согласно 1°,
a(bc) = b(ca) = c(a b)и, пользуясь коммутативностью, получаем
a(bc) = c(ab) = (ab)c.
Задача решена. Условие3°, как видим, оказалось лишним. Разумеется, можно было использовать его вместо2°. Если условие1° выполнено, то каждое из условий2° и3° следует из другого.
Мы видели, что из 1° и коммутативности следует ассоциативность. Конечно, если операция коммутативна и ассоциативна, для нее верно 1°. Однако из ассоциативности и условия 1° коммутативность не следует (т.е. без условий 2° или 3° в доказательстве коммутативности обойтись нельзя).
Приведем пример, подтверждающий это: пусть множество состоит из четырех элементов 0, 1, 2, 3 и операция определена так: 12 = 3, и для любой другой пары элементов ab = 0 (в частности, 21 = 0); в этом примере (ab)c = a(bc) = 0 для любых трех a, b и c.
Попробуйте придумать пример, доказывающий, что из одного условия 1° не следует ассоциативность.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.