Доказательство неравенства с корнями и суммой дробей. Олимпиадная зада
Еслиx1 < x2 < x3 < ... < xn —натуральные числа, то суммаn – 1дробей,k-я изкоторых, гдеk < n,равна отношению квадратного корня из разностиxk+1 - xkк числуxk+1, меньше суммы чисел 1,1/2,1/3, ...,1/n2. Докажите это.
Разобрать решение
Предположим сначала, что xn≤n2. Тогда
Последняя сумма, очевидно, не превосходит содержащей столько же слагаемых суммы
Но тогда
Предположим теперь, что среди чисел x0, x1, x2, ..., xn есть большие,
чем n2.
Если xi > n2, то
Таким образом, каждое слагаемое со знаменателем xi, большим n2 , меньше
. Следовательно, сумма всех таких слагаемых (их не более чем n )
меньше1. Но сумма остальных слагаемых, как уже было показано выше, меньше
+ 
+ ... + 
, что и завершает доказательство исходного неравенства.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.