Олимпиадная задача: алгебра с операциями "!" и "?"

Решение 1:   Заметим, что обе операции – это сумма, только какое-то слагаемое может быть умножено на –1. Поэтому при вычислении не будем переставлять слагаемые местами. Всего есть четыре варианта набора операций. Вариант "?Л", например, означает, что при выполнении "?" на –1 умножается Левое слагаемое.

  Рассмотрим, чему равно выражение   $x?(y!y)!y?y!y$   (операции выполняются слева направо).

    ?Л:  $- (- x + 2y + y) + y+ y = x - y.$

    ?П:  $x - 2y + y - y + y = x - y.$

    !Л:  $-(-(x + 0) + y + y) + y = x - y.$

    !П:  $x + 0 - y + y - y = x - y.$

  Значит, мы умеем вычислять обычную разность. Тогда мы умеем вычислять и сумму, поскольку  $x + y = x - (x - x - y)$.  Следовательно, можно получить любую линейную комбинацию $a$ и $b$ с целыми коэффициентами.

Решение 2:   Заметим, что  $(a!a)?(a!a) = 0$.  Значит, мы умеем получать 0 и можем использовать его в дальнейшем. Далее можно действовать по-разному.   Первый способ. $(a!0)!(0!b) = a + b$. Выражение $(0!a)!0$ равно $a$, если "!" – сумма, и  $0 - a - 0$  или  $0 - (a - 0)$,  то есть $-a$, если "!" – разность. Поэтому  $(0?((0!a)!0))?0 = -a$.  Таким образом, мы научились складывать и брать противоположное число. Значит, можно получить любую линейную комбинацию $a$ и $b$ с целыми коэффициентами.   Второй способ. Введём новые операции:  $xy = x!y!0$и$x & y = x?y?0$.  Заметим, что одна из них (но неизвестно какая) – сумма, а другая – обычная разность. Тогда$x + y = x(0*y)$и$x - y = x * (0 & y$).  Следовательно, все линейные комбинации можно получить.