Разрезание пирамид: Олимпиадная задача по комбинаторной геометрии

Решим сначала обратную задачу: разрежем куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$ на части, из которых можно составить две пирамиды (см. рисунок слева). Достаточно заметить, что тетраэдр $ACB_1D_1$ — правильный c ребром $\sqrt{2}a$, а оставшаяся часть куба представляет собой четыре одинаковые треугольные пирамиды, которые можно склеить в одну четырёхугольную, все рёбра которой равны $\sqrt{2}a$. В нашем случае нужно выбрать $a = \frac{1}{\sqrt2}$.

Поэтому нужно в исходной правильной четырёхугольной пирамиде $OABCD$ с вершиной $O$ провести высоту $OH$ и разрезать пирамиду плоскостями $OHA$ и $OHB$ на 4 одинаковые части (см. рисунок справа). Приклеив к каждой грани исходного правильного тетраэдра по одной из полученных частей, мы получим куб с ребром $\frac{1}{\sqrt2}$.