Треугольный торт и Карлсон: Олимпиадная задача

Обозначим через $D$ наибольшую из длин сторон торта. Тогда длины всех сторон всех треугольников, которые будут получаться у Карлсона в процессе поедания торта, не будут превосходить $D$.

Предположим, что Карлсон может сделать сколько угодно описанных операций так, чтобы площадь съеденного торта не превосходила $1/2$ от площади всего торта.

Возьмем треугольник, который получается на $(k-1)$-м шаге, и обозначим его площадь через $S_k$, а стороны, между которыми проходит $k$-й разрез, через $a_k$ и $b_k$. Будем считать, что Карлсон съедает кусок, примыкающий к стороне $a_k$. Тогда по теореме о биссектрисе площадь съеденного на $k$-м шаге куска равна $S_k-S_{k+1}=\frac{S_ka_k}{a_k+b_k}$.

Рассмотрим длины всех сторон $a_k$. Возможны два случая: либо они все больше некоторого положительного числа $\ell>0$, либо такого числа $\ell$ не существует.

В первом случае получается, что на $k$-м шаге Карлсон съедает кусок торта площадью не меньше чем $$\frac{a_k S_k}{a_k+b_k}>\frac{a_k S_k}{2D}>\frac{\ell S_k}{2D}.$$ Можно оценить площадь оставшегося куска: $$S_{k+1} < S_k\left(1-\frac{\ell}{2D}\right).$$ Поэтому $S_{k+1} < S_1(1-\frac{\ell}{2D})^k$. Но выражение в скобках строго меньше 1, то есть при достаточно больших $k$ его $k$-я степень будет меньше $1/2$.

Допустим теперь, что $a_k$ могут быть сколь угодно близки к нулю. Возьмем такое $a_k$, для которого $a_k < S_1/D$. Оценим площадь треугольника $S_k$ сверху как половину произведения сторон: $S_k\leq a_k D/2$. Но, поскольку $a_k < S_1/D$, отсюда следует, что $S_k < S_1/2$, то есть к $k$-му шагу больше половины торта уже окажется съедено.