Олимпиадная задача о турнире по волейболу и команде "Хитрецы"
В турнире по волейболу каждая команда встречалась с каждой по одному разу. Каждая встреча состояла из нескольких партий – до трёх побед одной из команд. Если встреча заканчивалась со счётом 3 : 0 или 3 : 1, то выигравшая команда получала 3 очка, а проигравшая – 0. Если же счёт партий был
3 : 2, то победитель получал 2 очка, а побеждённый – 1 очко. По итогам турнира оказалось, что команда "Хитрецы" набрала больше всех очков, а команда "Простаки" – меньше всех. Но "Хитрецы" выиграли меньше встреч, чем проиграли, а у "Простаков" наоборот, победных встреч оказалось больше, чем проигранных. При каком наименьшем количестве команд такое возможно?
Показать ответ
При шести командах.
Разобрать решение
Оценка. Если команд не больше трёх, то "Простаки" выиграли все встречи, значит, и очков у них больше всех. Противоречие.
Если команд четыре или пять, то каждая команда проведёт три или четыре встречи. Значит, "Хитрецы" выиграли не более одной встречи и набрали максимум 5 = 3 + 1 + 1 или 6 = 3 + 1 + 1 + 1 очков соответственно. "Простаки" же выиграли не менее двух встреч при четырёх участниках и не менее трёх встреч при пяти участниках, то есть набрали минимум 4 = 2 + 2 + 0 или 6 = 2 + 2 + 2 + 0 очков соответственно. Учитывая, что "Хитрецы" должны набрать хотя бы на 2 очка больше, чем "Простаки", получаем противоречие.
Следовательно, команд не меньше шести.
Пример. См. таблицу.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.