Задача по олимпиадной математике: фишки на шахматной доске
Клетки шахматной доски 8×8 занумерованы по диагоналям, идущим влево вниз, от 1 в левом верхнем до 64 в правом нижнем углу: (см. рис.). Петя расставил на доске 8 фишек так, что на каждой горизонтали и на каждой вертикали оказалось по одной фишке. Затем он переставил фишки так, что каждая фишка попала на клетку с бóльшим номером. Могло ли по-прежнему в каждой строке и в каждом столбце оказаться по одной фишке?
Показать ответ
Не могло.
Разобрать решение
Зададим координаты клеток, занумеровав вертикали слева направо, а горизонтали – сверху вниз. Заметим, что на каждой из указанных в условии диагоналей сумма координат клеток постоянна, а чем ниже (и правее) диагональ, тем сумма на ней больше. При перестановке с увеличением номеров фишка с нижней горизонтали перешла на диагональ правее, а остальные – на ту же или ниже, поэтому сумма координат всех фишек увеличилась. Но если бы по-прежнему в каждой строке и в каждом столбце стояло по одной фишке, то сумма координат всех фишек не изменилась бы (осталась бы равной 2·(1 + 2 + … + 8) ). Противоречие.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.