Задание олимпиады: Раствор живой воды для Ивана-царевича

  Если  a ≤ 0,4,  то искомый раствор получается во втором сосуде после переливания из первого сосуда во второй 1,5a л обычной воды.

  Пусть  0,4 < a < ⅔.  Перельём  1 – a л  воды из первого сосуда во второй и будем последовательно делать такие двойные переливания: из второго сосуда в первый до краев, а затем из первого во второй до краев. Если перед таким двойным переливанием во втором сосуде содержится x л живой воды и  1 – x л  обычной воды, а в первом сосуде, соответственно,  a – x л  живой воды и x л обычной воды, то после первого переливания в первом сосуде станет  a – x + (1 – a)x = a – ax л  живой воды (и он будет полный), а во втором останется ax л живой воды. После второго переливания второй сосуд наполнится доверху, и живой воды в нём станет  ax + (1 – a)(a – ax) = a²x+ a – a² л.

  Таким образом, количество a_n живой воды во втором сосуде после n-го двойного переливания выражается рекуррентно:  a_n = a²a_n–1

• a – a²,  a₀ = a.

  Из рисунка, выражающего динамику a_n, видно, что числа a_n монотонно убывают к абсциссе ^a/_1+a пересечения прямых  y = a²x

• a – a²  и  y = x.

  Поскольку  a< &frac23;,  имеем  ^a/_1+a< 0,4,  и найдётся такоеk, что  a_k≤ 0,4 <a_k–1.  Тогда, прерывая второе переливание вk-м двойном переливании в нужный момент, мы получим искомый 40-процентный раствор во втором сосуде (возможно, неполном).   Пусть теперь  &frac23; <a< 1.  Будем последовательно делать такие двойные переливания: из первого сосуда во второй до краев, а затем из второго в первый до краев. Аналогично предыдущему показывается, что количествоb_nживой воды в первом сосуде послеn-го такого двойного переливания выражается рекуррентно:  b_n = a²b_n 1+a – a², b₀= 0.   Из рисунка видно, что числаb_nмонотонно возрастают к той же абсциссе^a/_1+aпересечения прямых  y = a²x + a – a²  и  y = x.  Поскольку  a> &frac23;,  имеем  ^a/_1+a> 0,4,  и найдётся такоеk, что  b_k–1< 0,4 ≤b_k. Тогда, прерывая второе переливание вk-м двойном переливании в нужный момент, мы получим искомый 40-процентный раствор живой воды в первом сосуде (возможно, неполном).   Наконец, покажем, что при  a= &frac23;  требуемый раствор нельзя получить ни в одном из сосудов. Предположим противное: такой раствор получился в результате каких-то переливаний в одном из сосудов – скажем, в первом, – впервые. Тогда во втором сосуде раствор не 40-процентный, так как при последнем переливании (из второго сосуда в первый) процентное содержание живой воды во втором сосуде не менялось. Но если в первом сосуде получилосьxл 40-процентного раствора живой воды, то есть 0,4xл живой и 0,6xл обычной воды, то во втором сосуде живой воды  &frac23; – 0,4xл,  а обычной воды  1 – 0,6xл,  то есть в нём тоже 40-процентный раствор живой воды. Противоречие.