Тетраэдр с минимальным углом: олимпиадная задача по стереометрии

Будем считать, что наибольшая из площадей граней тетраэдра равна 1; обозначим эту грань через F. Пусть S₁, S₂ и S₃ – площади остальных трёх граней, а α₁, α₂ и α₃ – соответственно двугранные углы, образованные этими гранями с F. Проектируя эти три грани на F, получаем, что

S₁ cos α₁ + S₂ cos α₂ + S₃ cos α₃ = 1.  Следовательно, одно из выражений вида  S_i cos α_i  не меньше ⅓, то есть  cos α_i ≥ ¹/_Si ≥ ⅓.  В правильном тетраэдре все три выражения равны, как и все четыре площади, так что в нём косинус двугранного угла равен ⅓.