Задача № 16148610, 11 классы3 / 5

Пределы дробей из разложения (1+√2+√3)^n — олимпиадная задача

Пусть(1 + $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ )ⁿ=p_n+q_n $\sqrt{2}$ +r_n $\sqrt{3}$ +s_n $\sqrt{6}$ (n $\geqslant$ 0). Найдите: а) $\lim\limits_{n\to \infty}^{} ${\dfrac{p_n}{q_n}}$; б) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ {\dfrac{p_n}{r_n}}$; в) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ ${\dfrac{p_n}{s_n}}$ .

Разобрать решение

Воспользуемся методом задачи 11.36. Выбирая всевозможные комбинации знаков при числах $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$ , получим равенства

$\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ = (1 + $\displaystyle \sqrt{2}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$ )ⁿ	=	p_n + q_n $\displaystyle \sqrt{2}$ + r_n $\displaystyle \sqrt{3}$ + s_n $\displaystyle \sqrt{6}$ ,
$\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ = (1 - $\displaystyle \sqrt{2}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$ )ⁿ	=	p_n - q_n $\displaystyle \sqrt{2}$ + r_n $\displaystyle \sqrt{3}$ - s_n $\displaystyle \sqrt{6}$ ,
$\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ = (1 + $\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$ )ⁿ	=	p_n + q_n $\displaystyle \sqrt{2}$ - r_n $\displaystyle \sqrt{3}$ - s_n $\displaystyle \sqrt{6}$ ,
$\displaystyle \lambda_{4}^{n}$ = (1 - $\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$ )ⁿ	=	p_n - q_n $\displaystyle \sqrt{2}$ - r_n $\displaystyle \sqrt{3}$ + s_n $\displaystyle \sqrt{6}$ .

Складывая эти равенства с коэффициентами (1, 1, 1, 1),(1, - 1, 1, - 1),(1, 1, - 1, - 1),(1, - 1, - 1, 1), находим

p_n	=	$\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{4}}$ ( $\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$ ),

q_n	=	$\displaystyle {\dfrac{1}{4\sqrt2}}$ ( $\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$ ),

r_n	=	$\displaystyle {\dfrac{1}{4\sqrt3}}$ ( $\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$ ),

s_n	=	$\displaystyle {\dfrac{1}{4\sqrt6}}$ ( $\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$ ).

Отсюда$\lim\limits_{n\to \infty}^{} ${\dfrac{p_n}{q_n}}$=$\sqrt{2}$,$\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ {\dfrac{p_n}{r_n}} $=$ \sqrt{3} $,$ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$ ${\dfrac{p_n}{s_n}}$ = $\sqrt{6}$ .

Открыть на Problems.ru Все задачи по теме

Обсуждение

Комментариев пока нет.

Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.

Пределы дробей из разложения (1+√2+√3)^n — олимпиадная задача

Обсуждение

Версии задачи

Сообщить об ошибке

Куда двигаться дальше

Похожие задачи

Обсуждение