Математическая задача по аффинной геометрии: композиция преобразований

Пусть L — данное аффинное преобразование,O — произвольная точка,T — сдвиг на вектор$\overrightarrow{L(O)O}$, и пустьL₁=ToL. Тогда O — неподвижная точка преобразования L₁. Среди всех точек единичной окружности с центром Oвыберем точку A, для которой максимальна длина вектораL($\overrightarrow{OA}$). Пусть H — поворотная гомотетия с центром O, которая точкуL₁(A) переводит в точку A, и пустьL₂=HoL₁=HoToL. Тогда L₂есть аффинное преобразование, которое оставляет на месте точки Oи A, а значит, согласно задаче 29.4, в), и все остальные точки прямойOA, причем, в силу выбора точки A, для всех точек Mимеем неравенство|$\overrightarrow{OM}$|$\ge$|L($\overrightarrow{OM}$)|. Докажем (и из этого будет следовать утверждение задачи), что L₂ — сжатие относительно прямойOA. Если преобразование L₂тождественно, то оно является сжатием с коэффициентом 1, поэтому будем считать, что L₂не тождественно. Согласно задаче 29.9все прямые вида$\overrightarrow{ML_2(M)}$, где M — произвольная точка не на прямойOA, друг другу параллельны. Пусть$\overrightarrow{OB}$ — единичный вектор, перпендикулярный всем этим прямым. Тогда B — неподвижная точка преобразования L₂, так как иначе было бы

|$\displaystyle \overrightarrow{OL_2(B)}$| = $\displaystyle \sqrt{OB^2+BL_2(B)^2}$ > | OB|.

Если Bне лежит на прямойOA, то согласно задаче [29.6](https://mirolimp.ru/tasks/158365), б) преобразование L₂тождественно. Если Bлежит на прямойOA, то все прямые видаML₂(M) перпендикулярны неподвижной прямой преобразования L₂. При помощи задачи [29.4](https://mirolimp.ru/tasks/158363), в) несложно показать, что отображение, обладающее этим свойством, является растяжением или сжатием.