Олимпиадная задача: преобразование многоугольника \(A_1A_2...A_n\) и т

Докажем сначала, что еслиA₁A₂...A_n — правильный многоугольник, вписанный в единичную окружность, аO — его центр, то указанные в условии задачи равенства выполняются, т. е.

$\displaystyle \overrightarrow{OA_{i-1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_{i+1}}$ = 2k$\displaystyle \overrightarrow{OA_i}$,    i = 1,..., n1)

(мы считаем, чтоA₀=A_nиA_{n + 1}=A₁; черезkобозначено числоcos(2$\pi$/n)). Для этого при каждом фиксированномiвыберем на плоскости систему координат с центром в точкеOи осьюOx, направленной вдоль лучаOA_i. Тогда точкиA_{i - 1},A_iиA_{i + 1}имеют координаты$\bigl($k, - sin(2$\pi$/n)$\bigr)$, (1, 0) и$\bigl($k, sin(2$\pi$/n)$\bigr)$соответственно. Равенство (1) при данномiтеперь легко проверяется. В силу задачи[29.4](https://mirolimp.ru/tasks/158363)равенства (1) выполняются также для образа правильногоn-угольника при аффинном преобразовании. Наоборот, пусть для многоугольникаA₁A₂...A_nи точкиOвнутри его выполнены равенства (1). Возьмем правильный многоугольникB₁B₂...B_nс центромOи рассмотрим аффинное преобразованиеL, которое переводит треугольникOB₁B₂в треугольникOA₁A₂. Докажем индукцией поi, чтоL(B_i) =A_iдля всехi$\ge$2. Приi= 2 это утверждение следует из определения отображенияL. Предположим, что мы его доказали для всех чисел, не превосходящихi, и докажем дляi+ 1. Так как для правильных многоугольников равенства (1) уже доказаны, а для многоугольникаA₁A₂...A_nони выполнены по предположению, то