Задание олимпиады: нахождение особой точки внутри треугольника

Поместим в вершины A,Bи Cмассы p, 1 и qсоответственно. Пусть O — центр масс этой системы точек. Будем рассматривать точку с массой 1 как две совпадающие точки с массами x_aи x_c, гдеx_a+x_c= 1. Пусть K — центр масс точек Aи Bс массами pи x_a, a L — центр масс точек Cи Bс массами qи x_c. ТогдаAK:KB=x_a:p,CL:LB=x_c:q, а точка O, являющаяся центром масс точек Kи Lс массамиp+x_aи q+x_c, лежит на прямойKL. Изменяя x_aот 0 до 1, мы получим все прямые, проходящие через точку Oи пересекающие стороныABи BC. Поэтому для всех этих прямых выполняется равенство${\frac{p AK}{KB}}$+${\frac{q CL}{LB}}$=x_a+x_c= 1.