Задание олимпиады о пятизначных числах без соседних чётных цифр

Решение 1:Требуется расставить 5 цифр 1, 2, 3, 4, 5 на 5 мест. Найдём сначала количество возможностей поставить две чётные цифры. Двойка может стоять на пяти местах. Если двойка стоит на первом или пятом месте, то имеются три возможности поставить цифру 4. Если двойка стоит на втором, третьем или четвёртом месте, то имеются две возможности поставить цифру 4. Итого, имеется  2·3 + 3·2 = 12  возможностей поставить чётные цифры. Для каждого варианта расстановки чётных цифр нечётные цифры можно поставить произвольным образом на три оставшихся места – всего  3! = 6  возможностей. Таким образом, всего имеется  12·6 = 72  возможности расставить цифры указанным в условии образом.

Решение 2:Чисел, которые можно получить перестановкой пяти цифр, всего  5! = 120.  Найдём количество чисел, где 2 и 4 стоят рядом. Есть всего четыре возможности зафиксировать два места рядом. На них 2 и 4 можно поставить двумя пособами. На оставшиеся три места есть шесть возможностей расставить нечётные цифры. Итак, "плохих" чисел  4·2·6 = 48,  а нужных нам  120 – 48 = 72.