Пятнадцать планет и астрономы — олимпиадная задача по комбинаторике
На каждой из 15 планет, расстояния между которыми попарно различны, находится по астроному, который наблюдает ближайшую к нему планету. Докажите, что некоторую планету никто не наблюдает.
Разобрать решение
Возьмём две планеты, расстояние между которыми наименьшее среди всех попарных расстояний. Ясно, что астрономы, находящиеся на этих двух планетах, смотрят друг на друга. Рассмотрим оставшиеся 13 планет. Если хотя бы один из астрономов с этих планет смотрит на одну из двух выбранных планет, то на все 13 планет не хватит наблюдателей, то есть среди этих планет найдётся та, которую никто не наблюдает. Если же ни на одну из выбранных двух планет никто не смотрит, то эти две планеты можно не рассматривать и повторить все рассуждения для 13 планет. Рассуждая так и далее, мы найдём планету, которую никто не наблюдает (поскольку 15 - нечётное число).
Обсуждение
0Комментариев пока нет.