Олимпиадная задача по теории графов и геометрии: нумерация рёбер куба
а) Можно ли занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров рёбер, которые в ней сходятся, была одинаковой? б) Аналогичный вопрос, если расставлять по рёбрам куба числа –6, –5, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Показать ответ
а) Нельзя; б) можно.
Разобрать решение
а) Предположим, что это возможно, и сумма номеров рёбер, сходящихся в каждой из восьми вершин, равна x. Сложив эти суммы для всех вершин, получим 8x. С другой стороны, эта сумма равна удвоенной сумме номеров всех рёбер, так как номер каждого ребра входит в неё дважды. Вычислим эту сумму: 2·(1 + 2 + ... + 12) = 156. Отсюда следует, что 8x = 156, то есть x – не целое. Противоречие. б) См. рисунок:
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.