Олимпиадные задачи по математике
а) Может ли квадрат натурального числа оканчиваться на 2? б) Можно ли, используя только цифры 2, 3, 7, 8 (возможно, по несколько раз), составить квадрат натурального числа?
Назовём натуральное число <i>n удобным</i>, если <i>n</i>² + 1 делится на 1000001. Докажите, что среди чисел 1, 2, ..., 1000000 чётное число удобных.
Докажите, что среди 51 целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на 100.
Докажите, что ни одно из чисел вида 10<sup>3<i>n</i>+1</sup> нельзя представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел.
Докажите, что 1<sup><i>n</i></sup> + 2<sup><i>n</i></sup> + ... + (<i>n</i> – 1)<sup><i>n</i></sup> делится на <i>n</i> при нечётном <i>n</i>.
Докажите, что
а) 43<sup>101</sup> + 23<sup>101</sup> делится на 66.
б) <i>a<sup>n</sup> + b<sup>n</sup></i> делится на <i>a + b</i>, если <i>n</i> – нечётное число.
Докажите, что 30<sup>99</sup> + 61<sup>100</sup> делится на 31.
Найдите остаток от деления 6<sup>100</sup> на 7.
Если <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>), <i>n</i> – натуральное число, то <i>a<sup>n</sup> ≡ b<sup>n</sup></i> (mod <i>m</i>).
Если <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>) и <i>c ≡ d</i> (mod <i>m</i>), то <i>ac ≡ bd</i> (mod <i>m</i>).
Если <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>) и <i>c ≡ d</i> (mod <i>m</i>), то <i>a – c ≡ b – d</i> (mod <i>m</i>).
Если <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>) и <i>c ≡ d</i> (mod <i>m</i>), то <i>a + c ≡ b + d</i> (mod <i>m</i>).
Докажите, что <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>) тогда и только тогда, когда <i>a – b</i> делится на <i>m</i>.
Игра начинается с числа 1000. За ход разрешается вычесть из имеющегося числа любое, не превосходящее его, натуральное число, являющееся степенью двойки (1 = 2<sup>0</sup>). Выигрывает тот, кто получит ноль.
Игра начинается с числа 2. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число, меньшее его. Выигрывает тот, кто получит 1000.
Игра начинается с числа 1. За ход разрешается умножить имеющееся число на любое натуральное число от 2 до 9. Выигрывает тот, кто первым получит число, большее 1000.
Игра начинается с числа 0. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число от 1 до 9. Выигрывает тот, кто получит число 100.
Имеется две кучки по 11 спичек. За ход можно взять две спички из одной кучки и одну из другой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
а) Имеется две кучки по 7 камней. За ход разрешается взять один камень из любой кучки или по камню из каждой кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. б) Кроме ходов, допустимых в пункте а), разрешается перекладывать один камень из первой кучки во вторую. В остальном правила те же.
Конь стоит на поле<i>a</i>1. За ход разрешается передвигать коня на две клетки вправо и одну клетку вверх или вниз, или на две вверх и на одну вправо или влево. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Имеется две кучки камней: в первой - 7 камней, во второй - 5. За ход разрешается брать любое количество камней из одной кучки или поровну камней из обеих кучек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Ферзь стоит на поле<i>c</i>1. За ход его можно передвинуть на любое число полей вправо, вверх или по диагонали "вправо-вверх". Выигрывает тот, кто поставит ферзя на поле<i>h</i>8.
Имеется две кучки спичек: а) 101 спичка и 201 спичка; б) 100 спичек и 201 спичка. За ход разрешается уменьшить количество спичек в одной из кучек на число, являющееся делителем количества спичек в другой кучке. Выигрывает тот, после чьего хода спичек не остается.
Игра начинается с числа 60. За ход разрешается уменьшить имеющееся число на любой из его делителей. Проигрывает тот, кто получит ноль.
Имеется три кучки камней: в первой – 50, во второй– 60, в третьей – 70. Ход состоит в разбиении каждой кучки,состоящей более чем из одного камня, на две меньшие кучки.Выигрывает тот, после чьего хода во всех кучках будет по одному камню.