Олимпиадные задачи по математике
Фишка стоит на одном из полей бесконечной в обе стороны клетчатой полоски бумаги. Она может сдвигаться на <i>m</i> полей вправо или на <i>n</i> полей влево. При каких <i>m</i> и <i>n</i> она сможет переместиться в соседнюю справа клетку?
Решите уравнение 2<i>x</i> + 3<i>y</i> + 3<i>z</i> = 11 в целых числах.
Найдите все целые решения уравнения 21<i>x</i> + 48<i>y</i> = 6.
Решите в целых числах уравнение 1990<i>x</i> – 173<i>y</i> = 11.
Найдите все целые решения уравнения 3<i>x</i> – 12<i>y</i> = 7.
Решите уравнение 3<i>x</i> + 5<i>y</i> = 7 в целых числах.
Докажите, что все числа ряда<img width="266" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30647/problem_30647_img_2.gif">являются составными.
К числу справа приписывают тройки. Докажите, что когда-нибудь получится составное число.
Найдите все трехзначные числа, каждая натуральная степень которых оканчивается на три цифры, составляющие первоначальное число.
Найдите четырехзначное число, являющееся точным квадратом, первые две цифры которого равны между собой и последние две цифры которого также равны между собой.
Между цифрами двузначного числа, кратного трем, вставили нуль, и к полученному трехзначному числу прибавили удвоенную цифру его сотен. Получилось число, в 9 раз большее первоначального. Найдите исходное число.
Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить ноль.
Может ли сумма нескольких первых натуральных чисел оканчиваться на 1989?
Найдите наименьшее число, записываемое одними единицами, делящееся на<img width="69" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/30640/problem_30640_img_2.gif">(в записи 100 троек).
Существует ли такое трехзначное число<img width="26" height="19" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/30639/problem_30639_img_2.gif">, что<img width="69" height="37" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30639/problem_30639_img_3.gif">является квадратом натурального числа?
а) Дано шестизначное число <span style="text-decoration: overline;"><i>abcdef</i></span>, причём <span style="text-decoration: overline;"><i>abc</i></span> + <span style="text-decoration: overline;"><i>def</i></span> делится на 37. Докажите, что и само число делится на 37.
б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 37.
а) Дано шестизначное число <span style="text-decoration: overline;"><i>abcdef</i></span>, причём <span style="text-decoration: overline;"><i>abc</i></span> – <span style="text-decoration: overline;"><i>def</i></span> делится на 7. Докажите, что и само число делится на 7.
б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 7.
в) Сформулируйте и докажите признак делимости на 13.
Сумма цифр трёхзначного числа равна 7. Докажите, что это число делится на 7 тогда и только тогда, когда две его последние цифры равны.
Сумма двух цифр <i>a</i> и <i>b</i> делится на 7. Докажите, что число <span style="text-decoration: overline;"><i>aba</i></span> также делится на 7.
Можно ли составить из цифр 2, 3, 4, 9 (каждую цифруможно использовать сколько угодно раз) два числа, одно изкоторых в 19 раз больше другого?
Докажите, что разность числа, имеющего нечётное количество цифр, и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 99.
<i>A</i> – шестизначное число, в записи которого по одному разу встречаются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Докажите, что <i>A</i> не делится на 11.
Пусть <i>a, b, c, d</i> – различные цифры. Докажите, что <span style="text-decoration: overline;"><i>cdcdcdcd</i></span> не делится на <span style="text-decoration: overline;"><i>aabb</i></span>.
Докажите, что число <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub>...<i>a<sub>n</sub>a<sub>n</sub>...a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>1</sub></span> – составное.
Докажите, что число 11...11 (2<i>n</i> единиц) – составное.