Задача № 130305
К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы чётна.
Олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 130303
На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?
Задача № 130302
Кузнечик прыгает по прямой. В первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз – на 2 см и так далее. Докажите, что после 1985 прыжков он не может оказаться там, где начинал.
Задача № 130300
Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел? Магический квадрат – это квадратная таблица, заполненная числами, в которой суммы чисел во всех строках и столбцах равны.
Задача № 130299
Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.
Задача № 130297
Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюрдостоинством в 1, 3 и 5 рублей?
Задача № 130295
На доске 25×25 расставлены 25 шашек, причём их расположение симметрично относительно обеих главных диагоналей. Докажите, что одна из шашек стоит в центральной клетке.
Задача № 130294
На доске 25×25 расставлены 25 шашек, причём их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.
Задача № 130292
Из набора домино выбросили все кости с шестёрками. Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд?
Задача № 130291
Все костяшки домино выложили в цепь. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце?
Задача № 130290
а) Дан осесимметричный выпуклый 101-угольник. Докажите, что ось симметрии проходит через одну из его вершин. б) Что можно сказать в случае десятиугольника?
Задача № 130289
Можно ли доску размером 5×5 заполнить доминошками размером 1×2?
Задача № 130288
Можно ли нарисовать девятизвенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?
Задача № 130287
Ученица 5 класса Катя и несколько её одноклассников встали в круг, взявшись за руки. Оказалось, что каждый держит за руки либо двух мальчиков, либо двух девочек. Если в кругу стоит пять мальчиков, то сколько там стоит девочек?
Задача № 130286
На хоккейном поле лежат три шайбыА,ВиС. Хоккеист бьёт по одной из них так, что она пролетает между двумя другими. Так он делает 25 раз. Могут ли после этого шайбы оказаться на исходных местах?
Задача № 130285
Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все её звенья?
Задача № 130284
Может ли конь пройти с поля a1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?
Задача № 130283
Конь вышел с поля a1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.
Задача № 130281
При помощи ножниц вырежьте в тетрадном листе дырку, через которую мог бы пролезть слон!
Задача № 130280
Можно ли расположить 6 длинных круглых карандашей так, чтобы каждый из них касался любого другого?
Задача № 130279
Разрежьте уголок, изображенный на рисунке на четыре таких же уголка вдвое меньшего размера.
Задача № 130278
Как разложить по семи кошелькам 127 рублевых бумажек так, чтобы любую сумму от 1 до 127 рублей можно было бы выдать, не открывая кошельков?
Задача № 130277
Разведка звездной империи ФИГ-45 перехватила секретное шифрованное сообщение враждебной планеты Медуза: ДУРАК + УДАР = ДРАКА. Известно, что разные цифры зашифрованы разными буквами, а одинаковые цифры - одинаковыми буквами. Два электронных думателя взялись найти решение и получили два разных ответа. Может ли такое быть или один из них надо сдать в переплавку?
Задача № 130276
В примере на сложение цифры заменили буквами (причем одинаковые цифры - одинаковыми буквами, а разные цифры - разными буквами) и получили: БУЛОК + БЫЛО = МНОГО. Сколько же было булок? Их количество есть максимальное возможное значение числа МНОГО.
Задача № 130275
Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 магический квадрат, то есть разместите их в таблицетак, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы.
23176–23200 из 23247