Олимпиадные задачи по математике
К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы чётна.
На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?
Кузнечик прыгает по прямой. В первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз – на 2 см и так далее.
Докажите, что после 1985 прыжков он не может оказаться там, где начинал.
Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?
<i>Магический квадрат</i> – это квадратная таблица, заполненная числами, в которой суммы чисел во всех строках и столбцах равны.
Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.
Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюрдостоинством в 1, 3 и 5 рублей?
На доске 25×25 расставлены 25 шашек, причём их расположение симметрично относительно обеих главных диагоналей.
Докажите, что одна из шашек стоит в центральной клетке.
На доске 25×25 расставлены 25 шашек, причём их расположение симметрично относительно диагонали.
Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.
Из набора домино выбросили все кости с шестёрками. Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд?
Все костяшки домино выложили в цепь. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце?
а) Дан осесимметричный выпуклый 101-угольник. Докажите, что ось симметрии проходит через одну из его вершин.
б) Что можно сказать в случае десятиугольника?
Можно ли доску размером 5×5 заполнить доминошками размером 1×2?
Можно ли нарисовать девятизвенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?
Ученица 5 класса Катя и несколько её одноклассников встали в круг, взявшись за руки. Оказалось, что каждый держит за руки либо двух мальчиков, либо двух девочек. Если в кругу стоит пять мальчиков, то сколько там стоит девочек?
На хоккейном поле лежат три шайбы<i>А</i>,<i>В</i>и<i>С</i>. Хоккеист бьёт по одной из них так, что она пролетает между двумя другими. Так он делает 25 раз. Могут ли после этого шайбы оказаться на исходных местах?
Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все её звенья?
Может ли конь пройти с поля a1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?
Конь вышел с поля a1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.
При помощи ножниц вырежьте в тетрадном листе дырку, через которую мог бы пролезть слон!
Можно ли расположить 6 длинных круглых карандашей так, чтобы каждый из них касался любого другого?
Разрежьте уголок, изображенный на рисунке на четыре таких же уголка вдвое меньшего размера.<div align="CENTER"> <img width="32" height="32" border="0" src="/storage/problem-media/30279/problem_30279_img_2.gif"> </div>
Как разложить по семи кошелькам 127 рублевых бумажек так, чтобы любую сумму от 1 до 127 рублей можно было бы выдать, не открывая кошельков?
Разведка звездной империи ФИГ-45 перехватила секретное шифрованное сообщение враждебной планеты Медуза: ДУРАК + УДАР = ДРАКА. Известно, что разные цифры зашифрованы разными буквами, а одинаковые цифры - одинаковыми буквами. Два электронных думателя взялись найти решение и получили два разных ответа. Может ли такое быть или один из них надо сдать в переплавку?
В примере на сложение цифры заменили буквами (причем одинаковые цифры - одинаковыми буквами, а разные цифры - разными буквами) и получили: БУЛОК + БЫЛО = МНОГО. Сколько же было булок? Их количество есть максимальное возможное значение числа МНОГО.
Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 магический квадрат, то есть разместите их в таблице<img width="40" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30275/problem_30275_img_2.gif">так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы.