Задача № 130601
а) Может ли квадрат натурального числа оканчиваться на 2? б) Можно ли, используя только цифры 2, 3, 7, 8 (возможно, по несколько раз), составить квадрат натурального числа?
Олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 130600
Назовём натуральное число n удобным, если n² + 1 делится на 1000001. Докажите, что среди чисел 1, 2, ..., 1000000 чётное число удобных.
Задача № 130599
Докажите, что среди 51 целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на 100.
Задача № 130598
Докажите, что ни одно из чисел вида 103n+1 нельзя представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел.
Задача № 130596
Докажите, что 1n + 2n + ... + (n – 1)n делится на n при нечётном n.
Задача № 130595
Докажите, что а) 43101 + 23101 делится на 66. б) an + bn делится на a + b, если n – нечётное число.
Задача № 130594
Докажите, что 3099 + 61100 делится на 31.
Задача № 130593
Найдите остаток от деления 6100 на 7.
Задача № 130591
Если a ≡ b (mod m), n – натуральное число, то an ≡ bn (mod m).
Задача № 130590
Если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то ac ≡ bd (mod m).
Задача № 130589
Если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то a – c ≡ b – d (mod m).
Задача № 130588
Если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то a + c ≡ b + d (mod m).
Задача № 130587
Докажите, что a ≡ b (mod m) тогда и только тогда, когда a – b делится на m.
Задача № 130470
Игра начинается с числа 1000. За ход разрешается вычесть из имеющегося числа любое, не превосходящее его, натуральное число, являющееся степенью двойки (1 = 20). Выигрывает тот, кто получит ноль.
Задача № 130469
Игра начинается с числа 2. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число, меньшее его. Выигрывает тот, кто получит 1000.
Задача № 130468
Игра начинается с числа 1. За ход разрешается умножить имеющееся число на любое натуральное число от 2 до 9. Выигрывает тот, кто первым получит число, большее 1000.
Задача № 130467
Игра начинается с числа 0. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число от 1 до 9. Выигрывает тот, кто получит число 100.
Задача № 130466
Имеется две кучки по 11 спичек. За ход можно взять две спички из одной кучки и одну из другой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Задача № 130465
а) Имеется две кучки по 7 камней. За ход разрешается взять один камень из любой кучки или по камню из каждой кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. б) Кроме ходов, допустимых в пункте а), разрешается перекладывать один камень из первой кучки во вторую. В остальном правила те же.
Задача № 130464
Конь стоит на полеa1. За ход разрешается передвигать коня на две клетки вправо и одну клетку вверх или вниз, или на две вверх и на одну вправо или влево. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Задача № 130463
Имеется две кучки камней: в первой - 7 камней, во второй - 5. За ход разрешается брать любое количество камней из одной кучки или поровну камней из обеих кучек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Задача № 130462
Ферзь стоит на полеc1. За ход его можно передвинуть на любое число полей вправо, вверх или по диагонали "вправо-вверх". Выигрывает тот, кто поставит ферзя на полеh8.
Задача № 130461
Имеется две кучки спичек: а) 101 спичка и 201 спичка; б) 100 спичек и 201 спичка. За ход разрешается уменьшить количество спичек в одной из кучек на число, являющееся делителем количества спичек в другой кучке. Выигрывает тот, после чьего хода спичек не остается.
Задача № 130460
Игра начинается с числа 60. За ход разрешается уменьшить имеющееся число на любой из его делителей. Проигрывает тот, кто получит ноль.
Задача № 130459
Имеется три кучки камней: в первой – 50, во второй– 60, в третьей – 70. Ход состоит в разбиении каждой кучки,состоящей более чем из одного камня, на две меньшие кучки.Выигрывает тот, после чьего хода во всех кучках будет по одному камню.
23026–23050 из 23247