Задача № 211904
Используя в качестве чисел любое количество монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырех арифметических действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег.
Олимпиадные задачи по математике для 4-8 класса - сложность 5 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 211884
В нашем распоряжении имеются 32kнеотличимых по виду монет, одна из которых фальшивая– она весит чуть легче настоящей. Кроме того, у нас есть трое двухчашечных весов. Известно, что двое весов исправны, а одни– сломаны (показываемый ими исход взвешивания никак не связан с весом положенных на них монет, т.е. может быть как верным, так и искаженным в любую сторону, причем на разных взвешиваниях– искаженным по-разному). При этом неизвестно, какие именно весы исправны, а какие сломаны. Как определить фальшивую монету за 3k + 1 взвешиваний?
Задача № 211876
На плоскости нарисовано несколько прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что каждые два прямоугольника можно пересечь вертикальной или горизонтальной прямой. Докажите, что можно провести одну горизонтальную и одну вертикальную прямую так, чтобы любой прямоугольник пересекался хотя бы с одной из этих двух прямых.
Задача № 211041
Каждая пара противоположных сторон данного выпуклого шестиугольника обладает следующим свойством: расстояние между серединами равно /2умноженное на сумму их длин. Докажите, что все углы в шестиугольнике равны.
Задача № 210158
Даны натуральные числа p
Задача № 210138
Докажите, что выпуклый многоугольник может быть разрезан непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники не более, чем одним способом.
Задача № 209949
Загадано число от 1 до 144. Разрешается выделить одно подмножество множества чисел от 1 до 144 и спросить, принадлежит ли ему загаданное число. За ответ да надо заплатить 2 рубля, за ответ нет – 1 рубль. Какая наименьшая сумма денег необходима для того, чтобы наверняка угадать число?
Задача № 209847
Окружность σ касается равных сторон AB и AC равнобедренного треугольника ABC и пересекает сторону BC в точках K и L . Отрезок AK пересекает σ второй раз в точке M . Точки P и Q симметричны точке K относительно точек B и C соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника PMQ касается окружности σ .
Задача № 209822
За круглым столом сидят 100 представителей 25 стран, по 4 представителя от каждой. Докажите, что их можно разбить на 4 группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и никакие двое из одной группы не сидят за столом рядом.
Задача № 209007
На плоскости дано k точек, расположенных так, что на каждой прямой, соединяющей две из этих точек, лежит по крайней мере ещё одна из них. Доказать, что все k точек лежат на одной прямой.
Задача № 208195
Точки A2, B2и C2– середины высот AA1, BB1и CC1остроугольного треугольника ABC . Найдите сумму углов B2A1C2, C2B1A2и A2C1B2.
Задача № 208158
Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD , касается его сторон DA , AB , BC и CD в точках K , L , M и N соответственно. Пусть S1, S2, S3и S4– окружности, вписанные в треугольники AKL , BLM , CMN и DNK соответственно. К окружностям S1и S2, S2и S3, S3и S4, S4и S1проведены общие касательные, отличные от сторон четырёхугольника ABCD . Докажите, что четырёхугольник, образованный этими четырьмя касательными, – ромб.
Задача № 198677
Имя входного файла: casino.in Имя выходного файла: casino.out Максимальное время работы на одном тесте: 2 секунды Максимальный объем используемой памяти: 64 мегабайта Максимальная оценка за задачу: 100 баллов Вновь открытое казино предложило оригинальную игру. В начале игры крупье выставляет в ряд несколько фишек разных цветов. Кроме того, он объявляет, какие последовательности фишек игрок может забирать себе в процессе игры. Далее игрок забирает себе одну из заранее объявленных последовательностей фишек, расположенных подряд. После этого крупье сдвигает оставшиеся фишки, убирая разрыв. Затем...
Задача № 178080
На столе лежат 15 журналов, закрывающих его целиком. Докажите, что можно забрать семь журналов так, чтобы оставшиеся журналы закрывали не меньше 8/15 площади стола. (Эту задачу не решил никто из участников олимпиады.)
Задача № 176548
Расположите (На плоскости — прим. ред.) 4 точки так, чтобы при измерении всех попарных расстояний между ними получалось только два различных числа. Отыщите все такие расположения.
Задача № 176530
Из тридцати пунктовA1,A2, ...,A30, расположенных на прямойMNна равных расстояниях друг от друга, выходят тридцать прямых дорог. Эти дороги располагаются по одну сторону от прямойMNи образуют сMNследующие углы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 60o 30o 15o 20o 155o 45o 10o 35o 140o 50o 125o 65o 85o 86o 80o 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 75o 78o 115o 95o 25o 28o 158o 30o 25o 5o 15o 160o 170o 20o 158o Из всех тридцати пунктов выезжают одновременно тридцать автомобилей, едущих, никуда не сворачивая, по этим дорогам с одинаковой скорость...
Задача № 173834
При каких n правильный n-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях? (Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)
Задача № 173814
Наnкарточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которыхравно 1или –1.За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всехn чисел,если за один вопрос разрешено узнать произведение чисел наа) любыхтрёх карточках;б) любыхтрёх карточках, лежащих подряд? (Здесьn —натуральное число,большее 3).
Задача № 173795
Окружность разбита точкамиA1,A2,...,Anнаn равныхдуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дугиA2A6иA6A10одинаково окрашены.)Докажите, что если для каждой точки разбиения Ak можно указать две непересекающиеся одинаково окрашенные дуги с общим концом Ak, то всю окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска периодическая. Рассмотрите сначала случай,...
Задача № 173769
Дан квадрат состороной 1.От него отсекают четыреуголка —четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).
Задача № 173689
На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений: некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку; некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.
Задача № 173637
Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точекAи Bсуществует такаяточка Сэтого множества, что треугольникABCравносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?
Задача № 173626
Двое играют в «крестики–нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считаем любую, имеющую с ней общую сторону или общую вершину. Второй играющий каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами). На рисунке изображена одна из позиций, которые могут возникнуть после третьего хода. Докажите, что как бы...
Задача № 173590
Все натуральные числа, в десятичной записи которых не большеn цифр,разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а вовторое —c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числаk £ nсуммаk-х степенейвсех чисел первого множества равна суммеk-х степенейвсех чисел второго множества.
Задача № 167217
В треугольнике с тупым углом отмечены такие точки и на , что , . Окружность пересекает стороны и в точках и соответственно. а) (П.Рябов) Докажите, что точка пересечения и равноудалена от и . б) (А.Заславский) Пусть пересекает в точке . Докажите, что , где – центр описанной окружности треугольника .
1–25 из 137