Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Дан треугольник и окружности , , , с центрами , , , соответственно такие, что каждая из прямых , , высекает на них четыре равных отрезка. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника делит отрезок с концами в и радикальном центре , , в отношении , считая от .
Общая внешняя касательная к окружностям и касается их в точках , соответственно. Пусть – произвольная точка на продолжении отрезка за точку , а – точка на продолжении отрезка за точку такая, что . Отличные от прямой касательные из к и из к пересекаются в точке . Докажите, что нагелианы всех треугольников из вершины проходят через одну точку.