Задача № 167434
Дан многочлен степени > 0 с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что у этого многочлена не может быть никаких других коэффициентов, кроме 1, –1 и –2.
Шатунов Л. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2-3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 167368
Пусть и – две пары точек, изогонально сопряженных относительно треугольника , – точка пересечения прямых и . Докажите, что педальные окружности точек , и соосны.
Задача № 167364
Дан выпуклый четырехугольник . Прямая пересекает прямые в точках . Описанные окружности треугольников и вторично пересекаются в точке . Докажите, что лежит на прямой .
Задача № 167353
Через вершины , , треугольника провели прямые соответственно. Отразим , , относительно биссектрис соответствующих углов треугольника , получив , , . Пусть , , , аналогично определим , , . Докажите, что у треугольников и одинаковое отношение площади к радиусу описанной окружности (т.е. , где , ).
Задача № 167318
Дан многочлен степени с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.
Задача № 167313
Дан описанный четырёхугольник с тупым углом . Лучи и пересекаются в точке , а лучи и – в точке . Докажите, что , где и – радиусы вписанных окружностей треугольников и .