Задача № 167434
Дан многочлен степени > 0 с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что у этого многочлена не может быть никаких других коэффициентов, кроме 1, –1 и –2.
Шатунов Л. — олимпиадные задачи по математике для 2-8 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 167364
Дан выпуклый четырехугольник . Прямая пересекает прямые в точках . Описанные окружности треугольников и вторично пересекаются в точке . Докажите, что лежит на прямой .
Задача № 167318
Дан многочлен степени с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.
Задача № 167222
Общая внешняя касательная к окружностям и касается их в точках , соответственно. Пусть – произвольная точка на продолжении отрезка за точку , а – точка на продолжении отрезка за точку такая, что . Отличные от прямой касательные из к и из к пересекаются в точке . Докажите, что нагелианы всех треугольников из вершины проходят через одну точку.