Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Назовём подмножество плоскостипохожим на прямую, если для некоторой прямой той же плоскости найдётся такое взаимно однозначное соответствие , что для всяких двух точек на прямой длина отрезка отличается от длины отрезка не более, чем на . Верно ли, что любое подмножество плоскости, похожее на прямую, лежит между некоторыми двумя параллельными прямыми?
Петя и Вася независимо друг от друга разбивают белую клетчатую доску на произвольные группы клеток, каждая из чётного (но не обязательно все из одинакового) числа клеток, каждый – на свой набор групп. Верно ли, что после этого всегда можно покрасить по половине клеток в каждой группе из разбиения Пети в чёрный цвет так, чтобы в каждой группе из разбиения Васи было поровну чёрных и белых клеток?
В остроугольном треугольнике высоты , и пересекаются в точке . Через точки, в которых окружность радиуса с центром пересекает отрезки и , проведена прямая . Аналогично проведены прямые и . Докажите, что точка пересечения высот треугольника, образованного прямыми , , , совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник .
В остроугольном треугольнике проведена высота . Точки и – середины отрезков и . Докажите, что точка пересечения перпендикуляров, опущенных из точек и на прямые и соответственно, равноудалена от точек и .
Дан вписанный четырёхугольник . Пусть – середина диагонали ; , – ортоцентры треугольников , соответственно; , – проекции и на и соответственно. Аналогично определим , для диагонали . Докажите, что , , , лежат на одной окружности.
В треугольнике высоты и пересекаются в точке , точка — середина стороны , а — точка пересечения внутренних касательных к окружностям, вписанным в треугольники и . Докажите, что точки , и лежат на одной прямой.
Прямая , параллельная стороне треугольника , касается его вписанной окружности и пересекает его описанную окружность в точках и . Пусть – центр вписанной окружности треугольника . Докажите, что .