Найдите задачу для себя, урока или математического кружка.
Периметр треугольника равен 1. Окружность касается стороны , продолжения стороны в точке и продолжения стороны в точке . Прямая, проходящая через середины и , пересекает описанную окружность треугольника в точках и . Найдите длину отрезка .
На сторонах равностороннего треугольника построены во внешнюю сторону треугольники , , так, что получился шестиугольник , в котором каждый из углов , , больше , а для сторон выполняются равенства , , . Докажите, что из отрезков , , можно составить треугольник.
Продолжения боковых сторон и трапеции () пересекаются в точке . На отрезке нашлась такая точка , что . Докажите, что линия центров окружностей, описанных около треугольников и , перпендикулярна прямой .