Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Хорда описанной около треугольника окружности пересекает стороны и в точках и соответственно, точка лежит между и . В треугольниках и провели биссектрисы и . Оказалось, что точки , , , лежат на одной окружности. Докажите, что точки , , , лежат на одной окружности.
Вписанная в треугольник окружность с центром касается его сторон , и в точках , и соответственно. Вневписанная окружность с центром касается стороны в точке и продолжений сторон и в точках и соответственно. Пусть прямые и пересекаются в точке , прямые и – в точке , прямые и – в точке . Докажите, что если одна из точек , , лежит на вписанной окружности, то и две другие тоже.
В треугольнике проведены биссектрисы , и . Отрезки и пересекаются в точке . Точка – проекция точки на сторону . Точки и лежат на сторонах и соответственно так, что , . Докажите, что .
Эллипс c фокусами в серединах сторон и треугольника проходит через вершину , а эллипс c фокусами в серединах сторон и проходит через вершину . Докажите, что точки пересечения этих эллипсов и ортоцентр треугольника лежат на одной прямой.