Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Хорда описанной около треугольника окружности пересекает стороны и в точках и соответственно, точка лежит между и . В треугольниках и провели биссектрисы и . Оказалось, что точки , , , лежат на одной окружности. Докажите, что точки , , , лежат на одной окружности.
Дан треугольник с углом , равным . Его вписанная окружность касается стороны в точке , а вневписанная окружность, касающаяся стороны , касается продолжения стороны в точке . Докажите, что перпендикуляр к стороне , проходящий через точку , вторично пересекает вписанную окружность в точке, равноудаленной от точек и . (Вневписанной называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.)
Вписанная в треугольник окружность с центром касается его сторон , и в точках , и соответственно. Вневписанная окружность с центром касается стороны в точке и продолжений сторон и в точках и соответственно. Пусть прямые и пересекаются в точке , прямые и – в точке , прямые и – в точке . Докажите, что если одна из точек , , лежит на вписанной окружности, то и две другие тоже.
В треугольнике проведены биссектрисы , и . Отрезки и пересекаются в точке . Точка – проекция точки на сторону . Точки и лежат на сторонах и соответственно так, что , . Докажите, что .
В трапецию () вписана окружность , которая касается сторон , , и в точках , , , соответственно. Прямая, проходящая через точку параллельно основаниям трапеции, пересекает прямую в точке . Докажите, что прямые , и пересекаются в одной точке.
Пусть точка – середина катета прямоугольного треугольника с прямым углом . На медиане треугольника отмечена точка , так что углы и равны. Докажите, что угол также равен этим углам.
На боковой стороне равнобедренного треугольника выбрана точка . Луч пересекает прямую, проходящую через вершину и параллельную основанию , в точке . Докажите, что касательная к описанной окружности треугольника в точке делит отрезок пополам.
Эллипс c фокусами в серединах сторон и треугольника проходит через вершину , а эллипс c фокусами в серединах сторон и проходит через вершину . Докажите, что точки пересечения этих эллипсов и ортоцентр треугольника лежат на одной прямой.
На боковых сторонах и равнобедренного треугольника отмечены точки и так, что . Точка симметрична точке относительно прямой . Докажите, что прямая проходит через точку пересечения биссектрис треугольника .
Дан неравнобедренный треугольник . Выберем произвольную окружность ω, касающуюся описанной окружности Ω треугольника внутренним образом в точке и не пересекающую прямую . Отметим на ω точки и так, чтобы прямые и касались ω, а отрезки и пересекались внутри треугольника . Докажите, что все полученные таким образом прямые проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности ω.
Четырёхугольник вписан в окружность ω с центром в точке . Описанная окружность Ω треугольника пересекает вторично прямые и в точках и соответственно. Докажите, что прямые и касательные, проведённые к ω в точках и , касаются одной окружности.