Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Дан треугольник с углом , равным . Его вписанная окружность касается стороны в точке , а вневписанная окружность, касающаяся стороны , касается продолжения стороны в точке . Докажите, что перпендикуляр к стороне , проходящий через точку , вторично пересекает вписанную окружность в точке, равноудаленной от точек и . (Вневписанной называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.)
В трапецию () вписана окружность , которая касается сторон , , и в точках , , , соответственно. Прямая, проходящая через точку параллельно основаниям трапеции, пересекает прямую в точке . Докажите, что прямые , и пересекаются в одной точке.
Пусть точка – середина катета прямоугольного треугольника с прямым углом . На медиане треугольника отмечена точка , так что углы и равны. Докажите, что угол также равен этим углам.
На боковой стороне равнобедренного треугольника выбрана точка . Луч пересекает прямую, проходящую через вершину и параллельную основанию , в точке . Докажите, что касательная к описанной окружности треугольника в точке делит отрезок пополам.
На боковых сторонах и равнобедренного треугольника отмечены точки и так, что . Точка симметрична точке относительно прямой . Докажите, что прямая проходит через точку пересечения биссектрис треугольника .
Дан неравнобедренный треугольник . Выберем произвольную окружность ω, касающуюся описанной окружности Ω треугольника внутренним образом в точке и не пересекающую прямую . Отметим на ω точки и так, чтобы прямые и касались ω, а отрезки и пересекались внутри треугольника . Докажите, что все полученные таким образом прямые проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности ω.
Четырёхугольник вписан в окружность ω с центром в точке . Описанная окружность Ω треугольника пересекает вторично прямые и в точках и соответственно. Докажите, что прямые и касательные, проведённые к ω в точках и , касаются одной окружности.