Автор Марданов А. — каталог олимпиадных задач по математике, сложность 2

8 задач

Задача № 1672188 класс9 класс10 класс2 / 5

Задача № 167218

В трапеции $ABCD$ основание $AD$ вдвое больше основания $BC$ , а угол $C$ в полтора раза больше угла $A$ . Диагональ $AC$ делит угол $C$ на два угла. Определите, какой из них больше?

Марданов А.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1672068 класс9 класс10 класс2 / 5

Пусть $L$ – середина меньшей дуги $AC$ описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ . Из вершины $B$ на касательную к описанной окружности, проведённую в точке $L$ , опустили перпендикуляр $BP$ . Докажите, что точки $P$ , $L$ и середины сторон $AB$ и $BC$ лежат на одной окружности.

Марданов А.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1671308 класс9 класс10 класс11 класс2 / 5

Задача № 167130

Из точки $A$ к окружности $\Omega$ проведены касательные $AB$ и $AC$ . На отрезке $BC$ отмечена середина $M$ и произвольная точка $P$ . Прямая $AP$ пересекает окружность $\Omega$ в точках $D$ и $E$ . Докажите, что общие внешние касательные к окружностям $MDP$ и $MPE$ пересекаются на средней линии треугольника $ABC$ .

Марданов А., Струихина К.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1671228 класс9 класс10 класс11 класс2 / 5

Задача № 167122

Хорды $AB$ и $CD$ окружности $\omega$ пересекаются в точке $E$ , причем $AD = AE = EB$ . На отрезке $CE$ отметили точку $F$ , так что $ED = CF$ . Биссектриса угла $AFC$ пересекает дугу $DAC$ в точке $P$ . Докажите, что точки $A$ , $E$ , $F$ и $P$ лежат на одной окружности.

Марданов А.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1671208 класс9 класс10 класс11 класс2 / 5

Задача № 167120

Средняя линия, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$ , пересекает его описанную окружность в точках $X$ и $Y$ . Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$ , а $D$ – середина дуги $AC$ , не содержащей точку $B$ . На отрезке $DI$ отметили точку $L$ такую, что $DL=BI/2$ . Докажите, что из точек $X$ и $Y$ отрезок $IL$ виден под равными углами.

Марданов А.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1671138 класс9 класс10 класс11 класс2 / 5

Задача № 167113

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$ . Пусть $P$ – точка пересечения его диагоналей, а точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность $OPM$ вторично пересекает отрезки $AP$ и $BP$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно, а окружность $OPN$ вторично пересекает отрезки $CP$ и $DP$ в точках $C_1$ и $D_1$ соответственно. Докажите, что площади четырёхугольников $AA_1B_1B$ и $CC_1D_1D$ равны.

Марданов А.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1671118 класс9 класс10 класс11 класс2 / 5

Задача № 167111

Точка $M$ – середина большей боковой стороны $CD$ прямоугольной трапеции $ABCD$ . Описанные около треугольников $BCM$ и $AMD$ окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точке $E$ . Пусть $ED$ пересекает $\omega_1$ в точке $F$ , а $FB$ пересекает $AD$ в $G$ . Докажите, что $GM$ – биссектриса угла $BGD$ .

Марданов А.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1669698 класс9 класс10 класс11 класс2 / 5

Задача № 166969

Через точку внутри треугольника провели три чевианы. Оказалось, что длины шести отрезков, на которые они разбивают стороны треугольника, образуют в каком-то порядке геометрическую прогрессию. Докажите, что длины чевиан тоже образуют геометрическую прогрессию.

Ивлев Ф., Марданов А.

Problems.ruОткрыть задачу →

Марданов А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями

Каталог

Фильтры задач

Задача № 167218

Задача № 167206

Задача № 167130

Задача № 167122

Задача № 167120

Задача № 167113

Задача № 167111

Задача № 166969