Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Дан треугольник с углом , равным . Его вписанная окружность касается стороны в точке , а вневписанная окружность, касающаяся стороны , касается продолжения стороны в точке . Докажите, что перпендикуляр к стороне , проходящий через точку , вторично пересекает вписанную окружность в точке, равноудаленной от точек и . (Вневписанной называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.)
В трапецию () вписана окружность , которая касается сторон , , и в точках , , , соответственно. Прямая, проходящая через точку параллельно основаниям трапеции, пересекает прямую в точке . Докажите, что прямые , и пересекаются в одной точке.
В трапеции основание вдвое больше основания , а угол в полтора раза больше угла . Диагональ делит угол на два угла. Определите, какой из них больше?
На боковых сторонах и равнобедренного треугольника отмечены точки и так, что . Точка симметрична точке относительно прямой . Докажите, что прямая проходит через точку пересечения биссектрис треугольника .
Пусть – середина меньшей дуги описанной окружности остроугольного треугольника . Из вершины на касательную к описанной окружности, проведённую в точке , опустили перпендикуляр . Докажите, что точки , и середины сторон и лежат на одной окружности.
Из точки к окружности проведены касательные и . На отрезке отмечена середина и произвольная точка . Прямая пересекает окружность в точках и . Докажите, что общие внешние касательные к окружностям и пересекаются на средней линии треугольника .
Хорды и окружности пересекаются в точке , причем . На отрезке отметили точку , так что . Биссектриса угла пересекает дугу в точке . Докажите, что точки , , и лежат на одной окружности.
Средняя линия, параллельная стороне треугольника , пересекает его описанную окружность в точках и . Пусть – центр вписанной окружности треугольника , а – середина дуги , не содержащей точку . На отрезке отметили точку такую, что . Докажите, что из точек и отрезок виден под равными углами.
Четырёхугольник вписан в окружность с центром . Пусть – точка пересечения его диагоналей, а точки и – середины сторон и соответственно. Окружность вторично пересекает отрезки и в точках и соответственно, а окружность вторично пересекает отрезки и в точках и соответственно. Докажите, что площади четырёхугольников и равны.
Точка – середина большей боковой стороны прямоугольной трапеции . Описанные около треугольников и окружности и пересекаются в точке . Пусть пересекает в точке , а пересекает в . Докажите, что – биссектриса угла .
Четырёхугольник вписан в окружность ω с центром в точке . Описанная окружность Ω треугольника пересекает вторично прямые и в точках и соответственно. Докажите, что прямые и касательные, проведённые к ω в точках и , касаются одной окружности.
Через точку внутри треугольника провели три чевианы. Оказалось, что длины шести отрезков, на которые они разбивают стороны треугольника, образуют в каком-то порядке геометрическую прогрессию. Докажите, что длины чевиан тоже образуют геометрическую прогрессию.