Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Назовём рассадку кузнечиков на прямой в различные её точки -удачной, если кузнечики, сделав необходимое число ходов по правилам чехарды, могут добиться того, что сумма попарных расстояний между ними уменьшится хотя бы в раз. При каких существует рассадка, являющаяся -удачной сразу для всех натуральных ? (В чехарде за ход один из кузнечиков прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика.)
За каждым из двух круглых столиков сидит по гномов. Каждый дружит только со своими соседями по столику слева и справа. Добрый волшебник хочет рассадить гномов за один круглый стол так, чтобы каждые два соседних гнома дружили между собой. Он имеет возможность подружить пар гномов (гномы в паре могут быть как с одного столика, так и с разных), но после этого злой волшебник поссорит между собой пар гномов из этих пар. При каких добрый волшебник может добиться желаемого, как бы ни действовал злой волшебник?