Назовём рассадку кузнечиков на прямой в различные её точки -удачной, если кузнечики, сделав необходимое число ходов по правилам чехарды, могут добиться того, что сумма попарных расстояний между ними уменьшится хотя бы в раз. При каких существует рассадка, являющаяся -удачной сразу для всех натуральных ? (В чехарде за ход один из кузнечиков прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика.)
На плоскости сидят кузнечик Коля и 2020 его товарищей. Коля собирается совершить прыжок через каждого из остальных кузнечиков (в произвольном порядке) так, что начальная и конечная точка каждого прыжка симметричны относительно перепрыгиваемого кузнечика. Назовём точку финишной, если Коля может в неё попасть после 2020-го прыжка. При каком наибольшем числе найдётся начальная расстановка кузнечиков, для которой имеется ровно различных возможных финишных точек?
За каждым из двух круглых столиков сидит по гномов. Каждый дружит только со своими соседями по столику слева и справа. Добрый волшебник хочет рассадить гномов за один круглый стол так, чтобы каждые два соседних гнома дружили между собой. Он имеет возможность подружить пар гномов (гномы в паре могут быть как с одного столика, так и с разных), но после этого злой волшебник поссорит между собой пар гномов из этих пар. При каких добрый волшебник может добиться желаемого, как бы ни действовал злой волшебник?