Задача № 167492
Клетчатую доску разбили на двухклеточные доминошки. Докажите, что некоторая прямая содержит центры хотя бы десяти из этих доминошек.
Юран А.Ю. — олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 167405
В квадратном листе бумаги площади проделали дыру в форме треугольника (вершины дыры не выходят на границу листа). Докажите, что из оставшейся бумаги можно вырезать треугольник площади .
Задача № 167400
На часах три стрелки, каждая вращается в ту же сторону, что и обычно, с постоянной ненулевой, но, возможно, неправильной скоростью. Утром длинная и короткая стрелки совпали. Ровно через 3 часа совпали длинная и средняя стрелки. Еще ровно через 4 часа совпали короткая и средняя стрелки. Обязательно ли когда-нибудь совпадут все три стрелки?
Задача № 167311
Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.
Задача № 167302
Плоскость разбита на части несколькими прямыми, среди которых есть непараллельные. Те части, граница которых состоит из двух лучей, закрасили. После этого проведена ещё одна прямая. Докажите, что, независимо от положения новой прямой, по обе стороны от неё найдутся закрашенные точки.Пример расположения прямых (без последней прямой) изображен на рисунке.
Задача № 167297
Дан треугольник . Пусть – центр его вписанной окружности, – такая точка на стороне , что угол прямой, – точка, симметричная точке относительно вершины . Докажите, что точки , , , лежат на одной окружности.
Задача № 167239
Можно ли поместить правильный треугольник внутрь правильного шестиугольника так, чтобы из любой вершины шестиугольника были видны все три вершины треугольника? (Точка видна из точки , если отрезок не содержит внутренних точек треугольника.)
Задача № 167187
Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.
Задача № 167072
Докажите, что из любого выпуклого четырёхугольника можно вырезать три его копии вдвое меньшего размера.
Задача № 167016
Верно ли, что из любого выпуклого четырёхугольника можно вырезать три уменьшенные вдвое копии этого четырёхугольника?
Задача № 166855
Трапеция вписана в окружность. Её основание в 3 раза больше основания . Касательные к описанной окружности в точках и пересекаются в точке . Докажите, что угол прямой.
Задача № 166844
Целое число таково, что уравнение имеет решение в целых числах. Докажите, что тогда и уравнение имеет решение в целых числах.