Найдите задачу для себя, урока или математического кружка.
Дана равнобокая трапеция (). На описанной около неё окружности выбирается точка так, что отрезок пересекает основание в точке . Пусть – середина . Докажите, что длина диагонали трапеции не превосходит суммы расстояний от середин её боковых сторон до любой точки прямой .
Выпуклый четырехугольник таков, что и . Пусть – такая точка, что – параллелограмм. Докажите, что .
На диагонали квадрата взята точка . Пусть – точка пересечения высот треугольника , – середина и – середина . Докажите, что прямые и взаимно перпендикулярны.
В выпуклом пятиугольнике равны углы , , , и . Докажите, что середина лежит на .
В параллелограмме точки и выбираются на сторонах и соответственно так, что . Пусть – середина , а пересекает в точке . Докажите, что углы и равны.
Дан прямоугольный треугольник с прямым углом . Прямая проходящая через середину его высоты и вершину пересекает в точке . Пусть – середина , а – точка на отрезке такая, что . Известно, что . Найдите периметр треугольника .
В треугольнике , – высоты, – произвольная точка на стороне . Точка на прямой такова, что , а точка на прямой такова, что . Докажите, что четырехугольник вписанный.