Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
В треугольнике с тупым углом отмечены такие точки и на , что , . Окружность пересекает стороны и в точках и соответственно. а) (П.Рябов) Докажите, что точка пересечения и равноудалена от и . б) (А.Заславский) Пусть пересекает в точке . Докажите, что , где – центр описанной окружности треугольника .
В треугольнике чевианы и симметричны относительно биссектрисы. Точки , – проекции на и соответственно, а точки и – проекции на и соответственно. Докажите, что и пересекаются на .
Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках A и B пересекаются в точке D. Окружность, проходящая через проекции D на прямые BC, CA, AB, повторно пересекает AB в точке C'. Аналогично строятся точки A', B'. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.