Задача № 167101
Дан вписанный четырехугольник . Пусть , . Биссектрисы углов и пересекают в точках . Докажите, что точки лежат на одной окружности.
Хилько Д. — олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 166656
В остроугольном треугольнике проведены высоты , которые пересекаются в ортоцентре . Точки и симметричны и относительно . Описанная окружность треугольника пересекает во второй раз высоты и в точках и . Докажите, что – средняя линия треугольника .
Задача № 166240
В треугольнике ABC проведены высоты AH1, BH2 и CH3. Точка M – середина отрезка H2H3. Прямая AM пересекает отрезок H2H1 в точке K. Докажите, что точка K принадлежит средней линии треугольника ABC, параллельной AC.
Задача № 165805
На стороне BC треугольника ABC взята произвольная точка D. Через D и A проведены окружности ω1 и ω2 так, что прямая BA касается ω1, прямая CA касается ω2. BX – вторая касательная, проведённая из точки B к окружности ω1, CY – вторая касательная, проведённая из точки C к окружности ω2. Докажите, что описанная окружность треугольника XDY касается прямой BC.